Énergie Mécanique du solide

`Introduction`

Ce cours de mécanique est simplifié . Il suppose que les mouvements sont décrits dans un référentiel galiléen . Les repères seront orthonormés .On ne s'intéressera qu'aux énergies d'un solide en translation ou en rotation .

Ce qui peut se résumer à

# Rappel de quelques définitions

## 1) Vitesse

Elle est donnée par la dérivée de la position du point M par rapport au temps .

Exemple : Calcul de la vitesse moyenne

## 2) Accélération

Elle est donnée par la dérivée de la vitesse du point M par rapport au temps .

L'expression la plus simple est obtenue lorsque le référentiel est absolu

Calcul de l'accélération moyenne

## 3) Quantité de mouvement

Soit un point P de masse m et animé d'une vitesse absolue Va alors la quantité de mouvement est définie par

Application au choc élastique de deux solides .

On dit qu'un choc est élastique lorsque la quantité de mouvement et l'énergie cinétique sont conservés .

On dit qu'un choc est inélastique lorsque la quantité de mouvement est conservé .

1° Cas Un des deux objet est au repos .

2° Cas les deux objets sont en mouvement.

## 4) Principe fondamental de la dynamique

On considère que le mouvement est décrit dans un référentiel absolu, alors la résultante des forces agissant sur le point matériel est donné par

Si on considère un référentiel galiléen alors la définition reste valable mais elle permet d'écrire que

si m est constant

# Énergie cinétique et énergie potentielle pour un point matériel

## 1 Travail élémentaire d'une force

c'est le produit scalaire de la résultante des forces en ce point par le déplacement élémentaire de P à P'

en joules

## 2 Travail fini

Pour aller d'un point A à un point B , on définit le travail par la somme continue des travaux élémentaires

que l'on peut aussi écrire en joules

- Nous dirons qu'une force est conservatrice si son travail dans un référentiel R , entre deux positions quelconques A et B ne dépend que de ces deux positions et pas du chemin suivi pour aller de A à B

- Dans le cas d'un force constante on peut dire que le travail ne dépend pas du chemin parcouru

- Si la force est constamment perpendiculaire au déplacement le travail est nul

## 3 Puissance

On appelle puissance de la force F à l'instant t

en Watt

## 4 Variation de l'énergie cinétique

On appelle énergie cinétique d'un point matériel la quantité :

Soit deux positions A et B du point mobile P de masse m alors à la force agissant sur P correspondra le travail

## 5 Variation de l'énergie potentielle

Nous allons considérer que la force est conservatrice donc que le travail de la force ne dépend pas de la trajectoire .
Alors il existe une fonction Ep(M) ( dans le référentiel considéré ) du point M appelée énergie potentielle dont la variation est égale à l'opposé du travail de la force F entre A et B

On dit aussi que la force dérive d'une énergie potentielle car si F ne dépend que de x (paramètre de position ) alors

# Énergie cinétique pour un solide

Nous avons vu qu'un solide pouvait être considéré comme un ensemble infini de points matériels liés entres eux.

Nous pouvons considérer en général que le mouvement d'un solide peut être décomposé en un mouvement de translation et un mouvement de rotation . Nous aurons alors deux types d'énergie cinétique .

Celle de translation de la forme EcT

celle de rotation que nous allons déterminer .Ecr.

## 1 Centre de masse ou centre de gravité G

Soit un point O quelconque alors on définit le barycentre par pour un système discret de points.

Dans le cas d'un solide la somme discrète est remplacée par un intégrale ce qui donne

## 2 Moment d'inertie

Considérons un point de masse m tournant à une distance r autour d'un axe et sousmis à une force tangentielle FT , nous avons

Le couple est donné par

Pour un ensemble de points discrets liés et tournant autour de cet axe nous aurons

La somme discrète se transforme en intégrale pour un solide (.

Dans l'intégrale m se transforme en dm car c'est une mase élémentaire , son volume correspondra à un volume élémentaire dV ayant une masse volumique r .

la vitesse angulaire est la même pour tous les points , on peut donc la sortir de l 'intégrale

est appelé moment d'inertie du solide par rapport à l'axe D .

On montre que pour :

une sphère avec dV élément de volume élémentaire.

sphère creuse cylindre plein anneau mince

Théorème de Huygens

Soit deux axes parallèles D D' distants de d

D passe par le centre de gravité G

## 3 Énergie cinétique de rotation Ec r

Seule la composante tangentielle FT fournit un travail car elle n'est pas normale au déplacement . Le produit scalaire n'est donc pas nul.

L'énergie cinétique de rotation sera donné par :( voir 8,2 )

## 4 Énergie mécanique

Dans un référentiel R , l'énergie mécanique d'un point matériel ( ou un solide indéformable ) est à chaque instant , égale à la somme de l'énergie cinétique ( translation + rotation ) et de l'énergie potentielle des forces conservatrices .

Théorème de l'énergie mécanique

Dans un référentiel Galiléen Rg , la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel P ( ou d'un solide indéformable ) entres deux instants est égale à la somme des travaux des forces non conservatrices appliquées au point P

## 5 Théorème du moment cinétique

Ce théorème est intéressant lorsque nous avons des exercices comportant des axes de rotation comme dans le cas du pendule pesant .

a ) Moment cinétique d'un point matériel

Le moment cinétique en O d'un point matériel P de masse m dans le référentiel absolu R est égal au moment en O de la quantité de mouvement du point P dans le référentiel R

m en Kg v en m.s-1

On considère que les vecteurs V et OP sont dans le même plan sinon on les décomposent suivant deux plans perpendiculaires. On considère un plan comportant les projections des vecteurs V et OP

Un vecteur peut être décomposer en deux vecteurs orthogonaux dans ce plan .

Deux vecteurs colinéaires donnent un produit vectoriel nul (

Deux vecteurs orthogonaux donnent un produit vectoriel non nul

Le module du moment cinétique sera donné par

b ) Théorème du moment cinétique

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'un point matériel P en un point fixe O dans un référentiel galiléen est égal au moment des forces appliquées au point P

Application au pendule pesant : Exprimez la vitesse de rotation en fonction de l'angle

Le point P de masse m est relié au point O par un fil de masse négligeable et de longueur OP .

Nous savons que le moment cinétique s 'écrit :

Exprimons la vitesse v en fonction de la vitesse angulaire

Récapitulatif des différentes formules

# Exemples d'application

1) Vitesse moyenne et accélération

fichier provenant de « trajectoire meca.ods «
Calculer la vitesse moyenne et l'accélération pour différents points .

2) Objet qui tombe sans frottement.

Une pierre de masse 800g tombe sur le sol ( z2 ) d'une hauteur ( z1 ) de 25m par rapport au sol , sa vitesse initiale est nulle . Calculer l'énergie cinétique acquise juste avant l'impact. En déduire la vitesse de la pierre à cet instant .

Les énergies potentielles de la pierre sont

au départ est Ep1 = mg z1

au niveau du sol Ep2 = mg z2

La variation d'énergie potentielle est donnée par : Ep2 – Ep1 = mg ( z2 – z 1 ) avec ( z2 – z 1 ) variation de hauteur ( z2 – z 1 ) = -25 m

Les énergies cinétiques de la pierre sont

au départ est

au niveau du sol

La variation d'énergie cinétique est donnée par :

La conservation de l'énergie mécanique nous dit que :

on en déduit

3) Caisse qui glisse sans frottement sur un plan incliné . : Transformation de l'énergie potentielle en énergie cinétique .

Principe fondamental de la dynamique
On en déduit
où Vo est la vitesse initiale du solide
Si le glissement se fait avec un frottement il convient de rajouter cette force qui sera proportionnelle à la composante normale FN. On suppose que l'angle est suffisamment grand .
Avec
Le théorème de l'énergie cinétique nous dit que la variation d'énergie cinétique entre deux instants t1 et t2 est égale à la somme des travaux des forces appliquées entre ces deux instants ( On peut considérer deux positions P1 et P2 à la place des instants )
On fait le bilan des travaux des différentes forces

- Travail du poids : différence des énergies potentielles Ep(a) - Ep(B) = mgh ( travail moteur )
- Travail de frottement (travail résistant ) où correspond au déplacement de la caisse sur la pente pour passer de A à B .

On applique le théorème de l'énergie mécanique.
On remplace FT par f FN
On utilise aussi l'égalité entre la FN et la composante normale de mg ( mg cosa )
connaissant le coefficient de frottement on peut en déduire la pente minimale pour qu'il y ait glissement.
4 Bille qui roule sur un plan incliné
Bilan des forces pour la translation
pour la rotation nous avons l'égalité des couples
Si il n'y a pas de glissement, la vitesse de translation Vg est égale à la vitesse de rotation de la bille

et
en remplaçant FT
ce qui donne
comme